Question

已知直线l₁：x+3y-5=0，l₂：3kx-y+1=0．若l₁，l₂与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k=    ．

Answer

由l1，l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，可得此四边形存在一组对角的和等于180°．当直线l2的斜率
大于零时，根据l1⊥l2 ，由此求得k的值．当直线l2的斜率小于零时，应有∠ABC与∠ADC互补，即tan∠ABC=
-tan∠ADC，由此又求得一个k值，综合可得结论．
【解析】
由题意知，l1，l2与两坐标轴围成的四边形有一组对角互补．
由于直线l1：x+3y-5=0是一条斜率等于-的固定直线，直线l2：3kx-y+1=0经过定点A（0，1），
当直线l2的斜率大于零时，应有l1⊥l2 ，∴3 k×（-）=-1，解得 k=1．
当直线l2的斜率小于零时，如图所示：设直线l1与y轴的交点为B，与x轴的交点为C，l2 与x轴的交点为D，
要使四边形ABCD是圆内接四边形，应有∠ABC与∠ADC互补，即tan∠ABC=-tan∠ADC．
再由tan（90°+∠ABC）=KBC=-，可得tan∠ABC=3，∴tan∠ADC=-3=KAD=3k，解得 k=-1．
综上可得，k=1或 k=-1，
故答案为：±1．