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设S是整数集Z的非空子集,如果∀a,b∈S有ab∈S,则称S关于数的乘法是封闭的...

设S是整数集Z的非空子集,如果∀a,b∈S有ab∈S,则称S关于数的乘法是封闭的,若T,V是Z的两个不相交的非空子集,T∪V=Z,且∀a,b,c∈T,有abc∈T;∀x,y,z∈V,有xyz∈V,则下列结论恒成立的是( )
A.T,V中至少有一个关于乘法是封闭的
B.T,V中至多有一个关于乘法是封闭的
C.T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D.T,V中每一个关于乘法都是封闭的
本题从正面解比较困难,可运用排除法进行作答.考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集T,V的并集,如T为奇数集,V为偶数集,或T为负整数集,V为非负整数集进行分析排除即可. 【解析】 若T为奇数集,V为偶数集,满足题意,此时T与V关于乘法都是封闭的,排除B、C; 若T为负整数集,V为非负整数集,也满足题意,此时只有V关于乘法是封闭的,排除D; 从而可得T,V中至少有一个关于乘法是封闭的,A正确 故选A.
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