Question

设b＞0，数列{a_n}满足a₁=b，a_n=（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，a_n≤+1．

Answer

（1）首先要根据条件变形递推公式得：，然后通过换元的方法分析得数列是等比数列，其中．从而可以求得数列{bn}的通项公式，进而即可求得数列{an}的通项公式；
（2）首先要利用基本不等式获得b2n+b2n-1•2+…+bn+1•2n-1+bn-1•2n+1+…+b•22n-1+22n≥n•2n+1•bn，然后对数列{an}的通项公式变形然后利用所获得的不等式放缩化简即可获得问题的解答．
【解析】
（1）由题意知：
，
∴，
设，则
设，则，
当b=2时，，
∴为首项是，公差是的等差数列．
∴an=2．
当b≠2时，
令，∴，
∴，
∴是等比数列．
∴，
又∵，
∴，
∴．
综上可知：
当b=2时，an=2．
当b≠2时，
（2）当b=2时，由（1）知命题显然成立；
当b≠2时，
∵
…

将以上n个式子相加得：
b2n+b2n-1•2+…+bn+1•2n-1+bn-1•2n+1+…+b•22n-1+22n＞n•2n+1•bn
∴

=
=
=．
综上可知：
．