Question

已知动圆过定点（1，0），且与直线x=-1相切．
（1）求动圆的圆心轨迹C的方程；
（2）是否存在直线l，使l过点（0，1），并与轨迹C交于P，Q两点，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）如图，设M为动圆圆心，根据圆M与直线x=-1相切可得|MF|=|MN|，结合抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，从而解决问题；
（2）对“是否存在性”问题，先假设存在，设直线l的方程为x=k（y-1）（k≠0），与抛物线方程联立结合根的判别式求出k的范围，再利用向量垂直求出k值，看它们之间是否矛盾，没有矛盾就存在，否则不存在．
【解析】
（1）如图，设M为动圆圆心，F（1，0），
过点M作直线x=-1的垂线，垂足为N，由题意知：|MF|=|MN|
即动点M到定点F与到定直线x=-1的距离相等，
由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，
其中F（1，0）为焦点，x=-1为准线，
∴动圆圆心的轨迹方程为y2=4x；
（2）由题可设直线l的方程为x=k（y-1）（k≠0）
由得y2-4ky+4k=0；△=16k2-16k＞0⇒k＜0ork＞1
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=4k，y1y2=4k
由，即x1x2+y1y2=0⇒（k2+1）y1y2-k2（y1+y2）+k2=0，
解得k=-4或k=0（舍去），
∴直线l存在，其方程为x+4y-4=0．