Question

已知{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列；若数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+2^a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求证：b_n•b_n+2＜b_n+1²．

Answer

（1）由题设条件知bn+1-bn=2n．由此能够求出数列{bn}的通项公式．
（2）做差比较，由bn•bn+2-bn+12=（2n-1）•（2n+2-1）-（2n+1-1）2=（22n+2-2n+2-2n+1）-（22n+2-2n+2+1）=-2n，与0比较可得答案．
【解析】
（1）由已知得an=n．从而bn+1=bn+2n，即bn+1-bn=2n．（2分）
∴bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1=．（6分）
（2）因为bn•bn+2-bn+12=（2n-1）•（2n+2-1）-（2n+1-1）2
=（22n+2-2n+2-2n+1）-（22n+2-2n+2+1）=-2n＜0，
∴bn•bn+2＜bn+12．（12分）