Question

已知抛物线C₁：x²=y，圆C₂：x²+（y-4）²=1的圆心为点M
（Ⅰ）求点M到抛物线C₁的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P是抛物线C₁上一点（异于原点），过点P作圆C₂的两条切线，交抛物线C₁于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．

Answer

（I）由题意抛物线C1：x2=y，可以知道其准线方程为，有圆C2：x2+（y-4）2=1的方程可以知道圆心坐标为（0，4），所求易得到所求的点到线的距离；
（II）由于已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），所以可以设出点P的坐标，利用过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，也可以设出点A，B的坐标，再设出过P的圆C2的切线方程，利用交与抛物线C2两点，联立两个方程，利用根与系数之间的关系整体得到两切线的斜率的式子，有已知的MP⊥AB，得到方程进而求解．
【解析】
（I）由题意画出简图为：
由于抛物线C1：x2=y准线方程为：y=-，圆C2：x2+（y-4）2=1的圆心M（0，4），
利用点到直线的距离公式可以得到距离d==．
（II）设点P（x，x2），A（x1，x12），B（x2，x22）；
由题意得：x≠0，x2≠±1，x1≠x2，
设过点P的圆c2的切线方程为：y-x2=k（x-x）即y=kx-kx+x2①
则，即（x2-1）k2+2x（4-x2）k+（x2-4）2-1=0，
设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2应该为上述方程的两个根，
∴，；
代入①得：x2-kx+kx-x2=0 则x1，x2应为此方程的两个根，
故x1=k1-x，x2=k2-x
∴kAB=x1+x2=k1+k2-2x= 
由于MP⊥AB，∴kAB•KMP=-1⇒
 故P∴．