Question

设函数f（x）=（x-a）²lnx，a∈R
（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立．
注：e为自然对数的底数．

Answer

（I）利用极值点处的导数值为0，求出导函数，将x=e代入等于0，求出a，再将a的值代入检验．
（II）对x∈（0，3e]进行分区间讨论，求出f（x）的最大值，令最大值小于4e2，解不等式求出a的范围．
【解析】
（I）求导得f′（x）=2（x-a）lnx+=（x-a）（2lnx+1-），
因为x=e是f（x）的极值点，
所以f′（e）=0
解得a=e或a=3e．
经检验，a=e或a=3e符合题意，
所以a=e，或a=3e
（II）①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f（x）≤0＜4e2成立
②当1＜x≤3e时，，由题意，首先有f（3e）=（3e-a）2ln3e≤4e2，
解得
由（I）知f′（x）=2（x-a）lnx+=（x-a）（2lnx+1-），
令h（x）=2lnx+1-，则h（1）=1-a＜0，
h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1-≥2ln3e+1-=2（ln3e-）＞0
又h（x）在（0，+∞）内单调递增，所以函数h（x）在在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为x
则1＜x＜3e，1＜x＜a，从而，当x∈（0，x）时，f′（x）＞0，
当x∈（x，a）时，f′（x）＜0，
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x）内是增函数，
在（x，a）内是减函数，在（a，+∞）内是增函数
所以要使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立只要有
有h（x）=2lnx+1-=0得a=2xlnx+x，将它代入得4x2ln3x≤4e2
又x＞1，注意到函数4x2ln3x在（1，+∞）上是增函数故1＜x≤e
再由a=2xlnx+x，及函数2xlnx+x在（1，+∞）上是增函数，可得1＜a≤3e
由f（3e）=（3e-a）2ln3e≤4e2解得，
所以得
综上，a的取值范围为