Question

设椭圆的焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），右准线l交x轴于点A，且．
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₁、F₂分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）由焦点坐标可求得c，进而根据求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）先看当直线DE和直线MN与x轴垂直时，可求得四边形DMEN的面积；进而看直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE的直线方程与椭圆方程联立消去y，设D（x1，y1），E（x2，y2），进而利用韦达定理可得x1x2和x1+x2，进而可表示出|DE|，同理可表示出|MN|进而可表示出四边形的面积，进而根据均值不等式求得四边形的面积的范围，则最大值和最小值可得．
【解析】
（Ⅰ）由题意，，∴A（a2，0），
∵∴F2为AF1的中点
∴a2=3，b2=2
即椭圆方程为．

（Ⅱ）当直线DE与x轴垂直时，|DE|=，
此时，四边形DMEN的面积为．
同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积为．
当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0．
设D（x1，y1），E（x2，y2），则
所以，，
所以，，
同理，|MN|=．
所以，四边形的面积S===，
令，得
因为，
当k=±1时，，且S是以u为自变量的增函数，
所以．
综上可知，．即四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为．