Question

在底面直径和高均为2R的圆锥内作一内接圆柱，当圆柱的底面半径和高分别为多少时，它的体积最大？

Answer

如图：作出圆锥的轴截面，设出内接圆柱的高h，底面半径r和体积V；建立V（r）的函数解析式，利用导数的性质求函数V（r）的最大值．
【解析】
如图，作出圆锥的轴截面，
设圆柱的高为h，
底面半径为r（0＜r＜R），体积为V，
则=，
∴h=2（R-r），
∴V=πr2h=2πr2（R-r）．
=2πRr2-2πr3．
∴V′=4πRr-6πr2，
令V′=0，得r=R，
∴当r=R时，圆柱的体积V取得最大值，
此时圆柱的高h=2（R-R）=R．