Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n与S_n满足a_n+S_n=2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=S_n+λS_n+1（n∈N^*），求使数列{b_n}为等比数列的所有实数λ的值．

Answer

（1）由题设条件知a1=1，2an+1-an=0，n∈N+，所以，由此能求出数列{an}的通项公式；
（2）由，知，由此能推出使数列{bn}为等比数列的所有实数λ的值．
【解析】
（1）令n=1，有2a1=2⇒a1=1，
⇒2an+1-an=0，n∈N+，∴，
∴an是以1为首项，为公比的等比数列，∴．

（2）由（1）知，
∴，
，，．
∵bn为等比数列，∴b22=b1•b3，解得λ=-1或λ=-2．
当λ=-1时，，{bn}为等比数列；
当λ=-1时，bn=-2，{bn}为等比数列；
综上，使数列{bn}为等比数列的所有实数λ的值为一1或-2．