Question

已知函数（ a为常数、a∈R），．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a=1时，判断函数g（x）的零点的个数，并说明理由．

Answer

（1）由f（x）的解析式求出f（x）的导函数，且求出f（x）的定义域，分a大于等于0和a小于0两种情况，分别令导函数大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围即为函数的递增区间；令导函数小于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围即为函数的递减区间；
（2）把a=1代入f（x）中确定出f（x）的解析式，然后把f（x）的解析式代入到g（x）中确定出g（x）的解析式，求出g（x）的导函数，分别令导函数大于0和小于0得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到g（x）的最小值，根据最小值小于0得到函数没有零点即零点个数为0．
【解析】
（1）由f（x）=x2+alnx，得f′（x）=x+=，其中x＞0．
当a≥0时，f′（x）＞0对任意x∈（0，+∞）均成立，这是f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，由f′（x）＞0⇒x＞或x＜-（舍）
由f′（x）＜0⇒0＜x＜，
∴f（x）在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减；

（2）a=1时，g（x）=f（x）-x3=x2+lnx-x3，
g′（x）=x+-2x2=，其中x＞0，
∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴[g（x）]min=g（1）=-＜0，
∴函数g（x）零点的个数为0．