Question

如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元∕km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是    万元．

Answer

依题意知曲线PQ是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支，此双曲线的离心率为2，以直线AB为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为，点C的坐标为（3，）．求出修建这条公路的总费用W，根据双曲线的定义有，根据a+b当且仅当a=b时取等号的方法求出W的最小值即可．
【解析】
依题意知曲线PQ是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支，此双曲线的离心率为2，以直线AB为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为，点C的坐标为（3，）．则修建这条公路的总费用W=a|MB|+2a|MC|=，设点M、C在双曲线右准线上射影分别为点M1、C1，根据双曲线的定义有，所以
当且仅当点M为曲线PQ与线段CC1的交点时取等号，故W的最小值是5a．
故答案为；5a．