Question

如图，设P是抛物线C₁：x²=y上的动点．过点P做圆C₂：x²+（y+3）²=1的两条切线，交直线l：y=-3于A，B两点．
（Ⅰ）求C₂的圆心M到抛物线 C₁准线的距离．
（Ⅱ）是否存在点P，使线段AB被抛物线C₁在点P处的切线平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）先求出抛物线 C1准线的方程，再利用点到直线距离的求法求出C2的圆心M到抛物线 C1准线的距离即可．
（Ⅱ）先设抛物线 C1在点P处的切线交直线l于点D，线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分即为xA+xB=2XD．设出过点P做圆C2x2+（y+3）2=1的两条切线PA，PB，与直线y=-3联立，分别求出A，B，D三点的横坐标，代入xA+xB=2XD．看是否能解出点P，即可判断出是否存在点P，使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分．
【解析】
（Ⅰ）因为抛物线 C1准线的方程为：y=-，
所以圆心M到抛物线 C1准线的距离为：|--（-3）|=．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x，x2），抛物线 C1在点P处的切线交直线l与点D，
因为：y=x2，所以：y′=2x；
再设A，B，D的横坐标分别为xA，xB，xD，
∴过点P（x，x2）的抛物线 C1的切线的斜率k=2x．
过点P（x，x2）的抛物线 C1的切线方程为：y-x2=2x（x-x）    ①
当 x=1时，过点P（1，1）且与圆C2相切的切线PA方程为：y-1=（x-1）．可得xA=-，xB=1，xD=-1，xA+xB≠2xD．
当x=-1时，过点P（-1，1）且与圆C2的相切的切线PB的方程为：y-1=-（x+1）．可得xA=-1，xB=，xD=1，xA+xB≠2xD．
所以x2-1≠0．设切线PA，PB的斜率为k1，k2，
则：PA：y-x2=k1（x-x）   ②
PB：y-x2=k2（x-x）．③
将y=-3分别代入①，②，③得（x≠0）；；（k1，k2≠0）
从而．
又，
即（x2-1）k12-2（x2+3）xk1+（x2+3）2-1=0，
同理（x2-1）k22-2（x2+3）xk2+（x2+3）2-1=0，，
所以k1，k2是方程（x2-1）k2-2（x2+3）xk+（x2+3）2-1=0的两个不等的根，
从而k1+k2=，k1•k2=，，
因为xA+xB=2XD．．
所以2x-（3+x2）（）=，即=．
从而，
进而得x4=8，．
综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为（，2）．