Question

已知动点P（x，y）到原点的距离的平方与它到直线l：x=m（m是常数）的距离相等．
（1）求动点P的轨迹方程C；
（2）就m的不同取值讨论方程C的图形．

Answer

（1）设出动点坐标，直接利用条件写出方程，并化简．
（2）将轨迹方程变形化简，得到 （x+）2+y2=+m   或（x-）2+y2=-m，讨论4+m 与 4-m 的值的符号，分同为正数、一个正数一个是0时方程各表示的曲线类型．
【解析】
（1）因为原点为O（0，0），所以动点P（x，y）到原点的距离为|PO|=，
于是动点P的坐标满足（）2=|m-x|，
∴x2+y2=|m-x|，此即为动点P的轨迹方程．
（2）由x2+y2=|m-x|，两边平方，移项因式分解，
得  （x2+y2-m+x）（x2+y2+m-x）=0，
∴（x+）2+y2=+m   或（x-）2+y2=-m．

①当+m＞0且-m＞0，即＜m＜时，点P的轨迹是两个圆．
一个圆的圆心是（，0），半径为；    另一个圆的圆心是（，0），半径为．
②当m=或m=时，点P的轨迹是一个圆和一个点．
③当m＜或m＞时，点P的轨迹是一个圆．