Question

已知i，j是x，y轴正方向上的单位向量，设a=（x-）i+yj，b=（x+）i+yj，，且满足|a|+|b|=4．
（1）求点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）如果过点Q（0，m）且方向向量为c=（1，1）的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当△AOB的面积取到最大值时，求m的值．

Answer

（1）条件“|a|+|b|=4”可以看成是动点到两定点的距离之和为4，联想椭圆的定义解决“点P（x，y）的轨迹C”；
（2）△AOB的面积取到最大值问题，要先建立关于某个自变量的函数，后再求此函数的最大值．
【解析】
（1）∵a=（x-）i+yj，
b=（x+）i+yj且|a|+|b|=4，
∴点P（x，y）到点（，0），（-，0）的距离之和为4，
故点P的轨迹方程为+y2=1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）依题意得，直线AB的方程y=x+m，代入椭圆方程，得5x2+8mx+4m2-4=0，
则x1+x2=-m，x1•x2=（m2-1），
又O点到AB的距离d=，
因此，S△AOB=|AB|•d
=••
=，
∴当5-m2=m2时，即m=±时，Smax=1．