Question

已知a为实数，f（x）=x³-ax²-9x．
（1）求导数f'（x）；
（2）若f'（-1）=0，求f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值；
（3）若f（x）在[-1，1]上是递减的，求a的取值范围．

Answer

（1）直接利用幂函数的导数公式（xn）'=nxn-1，进行求解即可；
（2）先根据f'（-1）=0，求出参数a，然后在区间[-1，1]求f′（x）=0的值，确定函数f（x）在区间[-1，1]上的单调性，从而求出函数在[-1，1]上的最值；
（3）根据f（x）在[-1，1]上是递减，等价于f'（x）≤0在区间[-1，1]上恒成立，得到f'（-1）≤0，f′（1）≤0，建立方程组，解之即可．
【解析】
（1）∵f（x）=x3-ax2-9x，∴f'（x）=3x2-2ax-9．
（2）由f'（-1）=3得a=3，此时有f（x）=x3-3x2-9x，f'（x）=3x2-6x-9．
由f'（x）=0得x=3或x=-1，
∴函数f（x）在区间[-1，1]上是减函数．
∴f（x）在[-1，1]上的最大值为f（-1）=-1-3+9=5，最小值为f（1）=1-3-9=-11．
（3）∵f（x）在[-1，1]上是递减，
∴f'（x）=3x2-2ax-9≤0在区间[-1，1]上恒成立．
由条件得f'（-1）≤0，f′（1）≤0，
即，
∴-3≤a≤3．
所以a的取值范围为[-3，3]．