Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a＞b＞c且f（1）=0，试证明f（x）必有两个零点；
（2）若对x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），方程f（x）=[f（x₁）+f（x₂）]有两个不等实根，证明必有一实根属于（x₁，x₂）．

Answer

（1）由条件得到a＞0，c＜0，判别式△=b2-4ac≥-4ac＞0，从而证得方程ax2+bx+c=0有两个不等实根．
（2）令g（x）=f（x）-[f（x1 ）+f（x2）]，证明g（x1）•g（x2）＜0，可得g（x）=0在（x1，x2）内必有一实根，
问题得证．
证明：（1）∵f（1）=0，∴a+b+c=0．又∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，即ac＜0．
又∵△=b2-4ac≥-4ac＞0，∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根．
所以，函数f（x）必有两个零点．
（2）令g（x）=f（x）-[f（x1）+f（x2）]，
则g（x1）=f（x1）-[f（x1）+f（x2）]=，
g（x2）=f（x2）-[f（x1）+f（x2）]=-，
∴g（x1）•g（x2）=•=-[f（x1）-f（x2）]2．
∵f（x1）≠f（x2），∴g（x1）•g（x2）＜0．
∴g（x）=0在（x1，x2）内必有一实根．
∴方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]在（x1，x2）内必有一实根．
再由 g（x1）•g（x2）＜0可得二次函数g（x）的函数值可正可负，
故函数g（x）=f（x）-[f（x1）+f（x2）]的图象与x轴一定有两个交点，
故方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]有两个不等实根．
综上可得，方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，且必有一实根属于（x1，x2）．