Question

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，求k的取值范围．

Answer

（I）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x），f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；
（Ⅱ）根据若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，利用导数求函数f（x）在区间（0，+∞）的最大值，即可求出k的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）=，
令f′（x）=0，得x=±k
当k＞0时，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：

x （-，-k） -k （-k，k） k （k，+）
f′（x） + - +
F（x） 4k2e-1

所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，-k），和（k，+∞），单调递减区间是（-k，k）；
当k＜0时，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：

x （-，-k） -k （k，-k） -k （-k，+）
f′（x） - + -
F（x） 4k2e-1

所以，f（x）的单调递减区间是（-∞，k），和（-k，+∞），单调递增区间是（k，-k）；
（Ⅱ）当k＞0时，有f（k+1）=，不合题意，
当k＜0时，由（I）知f（x）在（0，+∞）上的最大值是f（-k）=，
∴任意的x∈（0，+∞），f（x）≤，⇔f（-k）=≤，
解得-，
故对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，k的取值范围是-．