Question

若数列A_n=a₁，a₂，…，a_n（n≥2）满足|a_n+1-a₁|=1（k=1，2，…，n-1），数列A_n为E数列，记S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）写出一个满足a₁=a_s=0，且S（A_s）＞0的E数列A_n；
（Ⅱ）若a₁=12，n=2000，证明：E数列A_n是递增数列的充要条件是a_n=2011；
（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列A_n，使得S（A_n）=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列A_n；如果不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据题意，a2=±1，a4=±1，再根据|ak+1-ak|=1给出a5的值，可以得出符合题的E数列A5；
（Ⅱ）从必要性入手，由单调性可以去掉绝对值符号，可得是An公差为1的等差数列，再证充分性，由绝对值的性质得出不等式，再利用同向不等式的累加，可得ak+1-ak=1＞0，An是递增数列；
（Ⅲ）根据定义构造数列，再用等差数列求和公式求出S（An），最后通过讨论得出符合条件的S（An）．
【解析】
（Ⅰ）0，1，0，1，0是一个满足条件的E数列A5
（Ⅱ）必要性：因为E数列An是递增数列
              所以ak+1-ak=1（k=1，2，…，1999）
              所以An是首项为12，公差为1的等差数列．
              所以a2000=12+（2000-1）×1=2011
      充分性：由于a2000-a1999≤1
                  a1999-a1998≤1
                     …
                  a2-a1≤1，
        所以a2000-a1≤1999，即a2000≤a1+1999
        又因为a1=12，a2000=2011
        所以a2000=a1+1999
        故ak+1-ak=1＞0（k=1，2，…，1999），即An是递增数列．
     综上所述，结论成立．
（Ⅲ）设ck=ak+1-ak（k=1，2，…，n-1），则ck=±1
因为a2=a1+c1
    a3=a1+c1+c2
…
    an=a1+c1+c2+…+cn-1
所以S（An）=na1+（n-1）c1+（n-2）c2+（n-3）c3+…+cn-1
=（n-1）+（n-2）+…+1-[（1-c1）（n-1）+（1-c2）（n-2）+…+（1-cn-1）]
=
因为ck=±1，所以1-ck为偶数（k=1，2，…，n-1））
所以（1-c1）（n-1）+（1-c2）（n-2）+…+（1-cn-1）为偶数
所以要使S（An）=0，必须=使为偶数
即4整除n（n-1），亦即n=4m或n=4m+1（m∈N*）
当n=4m（m∈N*）时，E数列An的项满足a4k+1=a4k-1=0，a4k-2=-1，a4k=1（k=1，2，…，n-1））
此时，有a1=0且S（An）=0成立
当n=4m+1（m∈N*）时，E数列An的项满足a4k+1=a4k-1=0a4k-2=-1a4k=1（k=1，2，…，n-1））
a4k+1=0时，亦有a1=0且S（An）=0成立
当n=4m+2或n=4m+3（m∈N*）（m∈N*）时，n（n-1）不能被4整除，此时不存在数列数列An，使得a1=0且S（An）=0成立