Question

分别求下列函数的值域：
（1）y=；
（2）y=-x²+2x（x∈[0，3]）；
（3）y=x+；
（4）y=．

Answer

（1）用分离变量法将原函数变形，再根据分母不为零，求函数的值域；
（2）用配方法将原函数变形，再根据开口方向和对称轴的大小，求出在区间上的最值，在表示出值域；
（3）先求函数定义域[-1，1]，故设x=cosθ（θ∈[0，π]），代入原函数利用两角的和差公式进行化简，再利用正弦函数的曲线求出最值，即求出值域；
（4）用分离变量法将原函数变形，利用2x＞0求原函数的值域．
【解析】
（1）用分离变量法将原函数变形为：y==2+．
∵x≠3，∴≠0．
∴y≠2，即函数值域为{y|y∈R且y≠2}．
（2）用配方法将原函数变形为：y=-（x-1）2+1，根据二次函数的性质，
在区间[0，3]上，当x=1时，函数取最大值1，当x=3时，函数取最小值是-3，
则原函数的值域是[-3，1]．
（3）由1-x2≥0，得-1≤x≤1，设x=cosθ（θ∈[0，π]），
则y=sinθ+cosθ=sin（θ+），
由正弦函数曲线易知，当θ=时，y取最大值为，当θ=π时，y取最小值为-1，
∴原函数的值域是[-1，]．
（4）分离常数法将原函数变形为：
y=
∵1+2x＞1，∴0＜＜2，
∴-1＜-1+＜1，
∴所求值域为（-1，1）