Question

已知B₂，B₁分别是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的上，下顶点，F是C的右焦点，FB₁=2，F到C的左准线的距离是．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是C上与B₁，B₂不重合的动点，直线B₁P，B₂P与x轴分别交于点M，N．求证：是定值．

Answer

（1）先设椭圆方程的标准方程，如图可得，进而求得a，b和c，进而可得椭圆的方程．
（2）设P（x，y）进而可得直线p和p的方程，令y=0，分别求得M和N的坐标．代入根据x和y的关系求得为4，原式得证
【解析】
（1）设椭圆方程为，
由已知得，，
所以．
所以所求的椭圆方程为．

（2）设P（x，y）（x≠0），直线．
令y=0得，即（，0）．
直线，令y=0得，
即，∴．
∵，
∴，
∴．
即为定值．