Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC．AB=2EF．
（Ⅰ）若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；
（Ⅱ）若AC=BC=2AE，求平面角A-BF-C的大小．

Answer

（I）根据所给的一系列平行，得到三角形相似，根据平行四边形的判定和性质，得到线与线平行，根据线与面平行的判定定理，得到线面平行．
（II）根据二面角的求解的过程，先做出，再证明，最后求出来，这样三个环节，先证∠HRC为二面角的平面角，再设出线段的长度，在直角三角形中求出角的正切值，得到二面角的大小．
证明：（I）∵EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB=90°，
∴∠EGF=90°，△ABC～△EFG，
由于AB=2EF，
∴BC=2FG，
连接AF，
∵FG∥BC，FG=BC，
在▱ABCD中，M是线段AD的中点，
∴AM∥BC，且AM=BC，
∴FG∥AM且FG=AM，
∴四边形AFGM为平行四边形，
∴GM∥FA，
∵FA⊂平面ABFE，GM⊄平面ABFE，
∴GM∥平面ABFE．
（II）由题意知，平面ABFE⊥平面ABCD，
取AB的中点H，连接CH，
∵AC=BC，
∴CH⊥AB
则CH⊥平面ABFE，
过H向BF引垂线交BF于R，连接CR，
则CR⊥BF，
∴∠HRC为二面角的平面角，
由题意，不妨设AC=BC=2AE=2，
在直角梯形ABFE中，连接FH，
则FH⊥AB，
又AB=2，
∴HF=AE=1，HR=，由于CH=AB=，
∴在直角三角形CHR中，tan∠HRC==，
因此二面角A-BF-C的大小为60°