Question

设数列{a_n}满足：当n=2k-1（k∈N^*）时，a_n=n；当n=2k（k∈N^*）时，a_n=a_k．
（1）求a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀+a₁₂+a₁₄+a₁₆；
（2）若，证明：S_n=4^n-1+S_n-1（n≥2）；
（3）证明：．

Answer

（1）根据题设中数列的通项公式可求得原式=4a1+2a3+a5+a7求得答案．
（2）先把前n中，奇数项和偶数项分别计算，利用等差数列的求和公式求得=4n-1，代入即可求得答案．
（3）由2）知：Sn-Sn-1=4n-1，进而用叠加法求得Sn，进而利用利用等比数列的求和公式，求得
【解析】
（1）原式=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8
=a1+a1+a3+a1+a5+a3+a7+a1
=4a1+2a3+a5+a7
=4×1+2×3+5+7
=22

（2）
=
=
=
=
=4n-1+Sn-1

（3）由2）知：Sn-Sn-1=4n-1，于是有：Sn-1-Sn-2=4n-2，Sn-2-Sn-3=4n-3，S2-S1=4，
上述各式相加得：Sn=S1+4+42++4n-1
=2+4+42++4n-1
=，
∴，
∴．