Question

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，AD=A₁B₁，∠BAD=60°．
（Ⅰ）证明：AA₁⊥BD；
（Ⅱ）证明：CC₁∥平面A₁BD．

Answer

（Ⅰ）  由D1D⊥平面ABCD，可证 D1D⊥BD．△ABD 中，由余弦定理得 BD2，勾股定理可得 AD⊥BD，由线面垂直的判定定理可证 BD⊥面ADD1A1，再由线面垂直的性质定理可证 BD⊥AA1． 
（Ⅱ）连接AC和A1C1，设AC∩BD=E，先证明四边形ECC1A1为平行四边形，可得CC1∥A1E，再由线面平行的判定定理可证CC1∥平面A1BD．
证明：（Ⅰ）∵D1D⊥平面ABCD，∴D1D⊥BD． 又AB=2AD，AD=A1B1，∠BAD=60°，△ABD 中，
由余弦定理得 BD2=AD2+AB2-2AB•ADcos60°=3AD2，∴AD2+BD2=AB2，
∴AD⊥BD，又 AD∩DD1=D，∴BD⊥面ADD1A1．
由 AA1⊂面ADD1A1，∴BD⊥AA1．                                  
（Ⅱ）证明：连接AC 和A1C1，设 AC∩BD=E，由于底面ABCD是平行四边形，故E为平行四边形ABCD的
中心，由棱台的定义及AB=2AD=2A1B1，可得 EC∥A1C1，且 EC=A1C1，
故ECC1 A1 为平行四边形，∴CC1∥A1 E，而A1 E⊂平面A1BD，∴CC1∥平面A1BD．