Question

x₁与x₂分别是实系数方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一个根，且x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0．求证：方程x²+bx+c=0有一个根介于x₁和x₂之间．

Answer

先由x1与x2分别是实系数方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根，得到关于x1与x2的两个等式，再设f（x）=x2+bx+c，利用条件推出f（x1）f（x2）＜0，即可说明方程x2+bx+c=0有一个根介于x1和x2之间．
证明：由于x1与x2分别是方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的根，
所以有
设f（x）=x2+bx+c，
则f（x1）=x12+bx1+c=-x12，
f（x2）=x22+bx2+c=x22，
∴f（x1）f（x2）=-a2x12x22
由于x1≠x2，x1≠0，x2≠0，
所以f（x1）f（x2）＜0，
因此方程x2+bx+c=0有一个根介于x1和x2之间．