Question

函数f（x）对任意的实数m、n有f（m+n）=f（m）+f（n），且当x＞0时有f（x）＞0、
（1）求证：f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
（2）若f（1）=1，解不等式f[log₂（x²-x-2）]＜2．

Answer

（1）利用单调性的定义证明，任取x1、x2∈R，且x1＜x2，证明即f（x1）＜f（x2），即可；
（2）先将原不等式化成f[log2（x2-x-2）]＜f（2），再利用（1）的结论脱“f”符号转化为对数不等式解之即可．
【解析】
（1）证明：设x2＞x1，则x2-x1＞0、
∵f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）=f（x2-x1）+
f（x1）-f（x1）=f（x2-x1）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），f（x）在（-∞，+∞）上为增函数
（2）∵f（1）=1，∴2=1+1=f（1）+f（1）=f（2）
又f[log2（x2-x-2）]＜2，∴f[log2（x2-x-2）]＜f（2）
∴log2（x2-x-2）＜2，于是
∴即-2＜x＜-1或2＜x＜3
∴原不等式的解集为{x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．