Question

如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y²=2x于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
（1）写出直线l的方程；
（2）求x₁x₂与y₁y₂的值；
（3）求证：OM⊥ON．

Answer

对于（Ⅰ）已知直线过点P（2，0）且斜率为k，可根据直线的点斜式方程代入求解．即可得到答案．
对于（Ⅱ）求x1x2与y1y2的值．可把抛物线方程和直线方程联立得到方程k2x2-2（k2+1）x+4k2=0．又可以分析到点M，N的横坐标x1与x2是②的两个根，有韦达定理可以直接求出，再代入抛物线方程求y1y2的值．
对于（Ⅲ）求证：OM⊥ON．可把OM，ON的斜率分别表示出来，相乘，然后根据两直线的斜率的积为-1，证明两直线垂直．
（Ⅰ）【解析】
直线l过点P（2，0）且斜率为k，故可直接写出直线l的方程为y=k（x-2） （k≠0）①
（Ⅱ）【解析】
由①及y2=2x消去y代入可得k2x2-2（k2+1）x+4k2=0．②
则可以分析得：点M，N的横坐标x1与x2是②的两个根，
由韦达定理得
又由y12=2x1，y22=2x2得到（y1y2）2=4x1x2=4×4=16，又注意到y1y2＜0，
所以y1y2=-4．
（Ⅲ）证明：设OM，ON的斜率分别为k1，k2，
，
所以证得：OM⊥ON．