己知f（x）=lnx-ax2-bx．（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内...

己知f（x）=lnx-ax²-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，b=-1，时，证明函数f（x）只有一个零点．

（I）将f（x）在（0，+∞）上递增，转化成f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即b≤+2x对x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤即可，根据基本不等式可求出；（II）先求出函数的定义域，然后求出f′（x），在定义域内求出f′（x）＞0 与f′（x）＜0，从而得到函数f（x）在定义域内的单调性，得到函数f（x）的最大值为0，从而当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0，则函数f（x）只有一个零点．【解析】（Ⅰ）依题意：f（x）=lnx+x2-bx ∵f（x）在（0，+∞）上递增，∴f′（x）=+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立即b≤+2x对x∈（0，+∞）恒成立，∴只需b≤ ∵x＞0，∴+2x≥2当且仅当x=时取“=”，∴b≤2， ∴b的取值范围为（-∞，2] （Ⅱ）当a=1，b=1时，f（x）=lnx-x2-b，其定义域是（0，+∞） ∴f′（x）=-2x+1=-=- ∵x＞0，∴0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0 ∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减 ∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-12+1=0 当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0 ∴函数f（x）只有一个零点

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考点分析：

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①如果函数f（x）对任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，则函数f（x）在R上是减函数；
②如果函数f（x）对任意的x∈R，都满足f（x）=-f（2+x），那么函数f（x）是周期函数；
③函数y=f（x）与函数y=f（x+1）-2的图象一定不能重合；
④对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．
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试题属性

题型：解答题
难度：中等

己知f（x）=lnx-ax2-bx． （Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内...

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