Question

已知等比数列{a_n}的公比为q，前n项的和为S_n，且S₃，S₉，S₆成等差数列．
（1）求q³的值；
（2）求证：a₂，a₈，a₅成等差数列．

Answer

（1）由S3，S9，S6成等差数列，得S3+S6=2S9，然后考虑当q=1时关系式不成立，所以当q不等于1时，利用等比数列的前n项和的公式化简此等式，根据q不等于1，利用换元法即可求出q3的值；
（2）由q3的值分别表示出a8和a5，然后分别求出a8-a2和a5-a8的值，得到两者的值相等即可得证．
【解析】
（1）由S3，S9，S6成等差数列，得S3+S6=2S9，
若q=1，则S3+S6=9a1，2S9=18a1，
由a1≠0得S3+S6≠2S9，与题意不符，所以q≠1．
由S3+S6=2S9，得．
整理，得q3+q6=2q9，由q≠0，1，
设t=q3，则2t2-t-1=0，解得t=1（舍去）或t=-，
所以；
（2）由（1）知：，
则a8-a2=a5-a8，
所以a2，a8，a5成等差数列．