Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB₁=3a，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点．
（1）求直线BE与A₁C所成的角；
（2）在线段AA₁中上是否存在点F，使CF⊥平面B₁DF，若存在，求出||；若不存在，说明理由．

Answer

（1）先以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，再求得相关点的坐标，再求的相关向量的坐标，最后用向量夹角公式求解．（2）假设存在点F，要使CF⊥平面B1DF，只要证明且即可，用向量法只要数量积为零即可．
【解析】
（1）以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AC=2a，∠ABC=90°，
∴．
∴B（0，0，0），C（0，，0），A（，0，0），A1（，0，3a），C1（0，，3a），B1（0，0，3a）．
∴，，3a），E（0，，，
∴，，3a），=（0，，．
∴，=，∴，
∴．故BE与A1C所成的角为．

（2）假设存在点F，要使CF⊥平面B1DF，只要且．
不妨设AF=b，则F（，0，b），，，b），，0，b-3a），=，，0），，
∴恒成立．
或b=2a，
故当或2a时，
CF⊥平面B1DF．