Question

函数f（x）=x³-px²-qx的图象与x轴切于点（1，0），则f（x）的极大值为    ，极小值为    ．

Answer

因为f（x）与x轴相切且切点为（1，0）则（1，0）代入到f（x）中得到p+q=1；又因为相切时函数与x轴只有一个交点即根的判别式=0得p2+4q=0，解出p、q的值确定出f（x），求出导数找出驻点分区间讨论函数的增减性找出函数的极值即可．
【解析】
由函数f（x）=x3-px2-qx的图象与x轴切于点（1，0）得：
p+q=1，p2+4q=0．解出p=2，q=-1
则函数f（x）=x3-2x2+x
则f′（x）=3x2-4x+1令其=0得到：x=1或x=
①当x≤时，f′（x）＜0，f（x）单调减，极值=f（）=
②当x≥1时，f′（x）＞0，f（x）函数单调增，极值为f（1）=0
故比较大小得：f（x）的极大值为，极小值为0．
故答案为：，0．