Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、O、O₁分别是A₁B、AC、A₁C₁的中点，且OH⊥O₁B，垂足为H．
（1）求证：MO∥平面BB₁C₁C；
（2）分别求MO与OH的长；
（3）MO与OH是否为异面直线A₁B与AC的公垂线？为什么？求这两条异面直线间的距离．

Answer

（1）要求证：MO∥平面BB1C1C，只需证明MO∥B1C即可．
（2）直接求MO，在三角形中求OH的长；
（3）说明OH与异面直线A1B与AC都垂直相交；求出MO与AC所成的角可以判断是否是公垂线，求这两条异面直线间的距离．由（2）可知结果．
（1）证明：连接B1C，∵MO是△AB1C的中位线，∴MO∥B1C．∵B1C不在平面BB1C1C，
∴MO∥平面BB1C1C．
（2）【解析】
MO=B1C=a，
∵OH是Rt△BOO1斜边上的高，BO=a，
∴OH=a．
（3）【解析】
MO不是A1B与AC的公垂线，MO∥B1C，△AB1C为正三角形，∴MO与AC成60°角．
∵AC⊥BD，AC⊥OO1，∴AC⊥面BOO1．∵OH不在面BOO1内，∴OH⊥AC，OH⊥A1C1．
∵OH⊥O1B，A1C1∩O1B=O1，∴OH⊥面BA1C1，OH⊥A1B．∴OH是异面直线A1B与AC的公垂线，
其长度即为这两条异面直线的距离．∴OH=a．