Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱长都等于a，E是BB₁的中点．
（1）求直线C₁B与平面A₁ABB₁所成角的正弦值；
（2）求证：平面AEC₁⊥平面ACC₁A₁；
（3）求点C₁到平面AEC的距离．

Answer

（1）由题意取A1B1中点M，再证明C1M⊥平面A1ABB1，即∠C1BM是所求的角，在Rt△BMC1中求解；
（2）取A1C1的中点D1，AC1的中点F，再证D1FEB1是平行四边形和B1D1⊥平面ACC1A1，即得EF⊥平面ACC1A1，故证出面面垂直；
（3）由（2）知EF是三棱锥E-ACC1的高，求出EF的长，再利用换低公式和体积相等求出点C1到平面AEC的距离．
（1）【解析】
取A1B1中点M，连接C1M，BM．
∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴C1M⊥A1B1，C1M⊥BB1．
∴C1M⊥平面A1ABB1．
∴∠C1BM为直线C1B与平面A1ABB1所成的角．
在Rt△BMC1中，C1M=a，BC1=a，
∴sin∠C1BM==．
（2）证明：取A1C1的中点D1，AC1的中点F，连接B1D1、EF、D1F．
则有D1FAA1，B1EAA1．
∴D1FB1E．
则四边形D1FEB1是平行四边形，
∴EFB1D1．
由于三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴B1D1⊥A1C1．
又∵平面A1B1C1⊥平面ACC1A1于A1C1，且B1D1⊂平面A1B1C1，
∴B1D1⊥平面ACC1A1，∴EF⊥平面ACC1A1．
∵EF⊂平面AEC1，∴平面AEC1⊥平面ACC1A1．
（3）由（2）知，EF⊥平面AC1，则EF是三棱锥E-ACC1的高．
由三棱柱各棱长都等于a，则EC=AE=EC1=a，AC1=a．
∴EF==a．
∵V=V，设三棱锥V的高为h，则h为点C1到平面AEC的距离．
则S△AEC•h=S•EF，
即×a2h=×a2•a．
∴h=a，即点C1到平面AEC的距离是a．