Question

在△ABC中，已知，c=10，P是△ABC的内切圆上一点，则PA²+PB²+PC²的最大值为    ．

Answer

由，结合正弦定理，我们易判断三角形的形状，进而给出三角形的三边长，及三角形内切圆半径，以C为原点建立坐标设后，构造内切圆方程，和PA2+PB2+PC2的表达式，结合P点位置范围，即可得到结论．
【解析】
∵=
∴sinA•cosA=sinB•cosB
 即sin2A=sin2B
由a≠b，故A≠B
∴2A+2B=π
即A+B=
∴C=
又∵c=10，
∴a=6，b=8，
则内切圆半径r=2，
以C为原点，CA，CB分别为X，Y轴正方向建立坐标系，
则C（0，0），A（8，0），B（0，6）
设P（x，y），则（x-2）2+（y-2）2=4
PA2+PB2+PC2
=x2+y2+（x-8）2+y2+x2+（y-6）2
=3[（x-2）2+（y-2）2]-4x+76
=88-4x
当x=0时，PA2+PB2+PC2取最大值为88
故答案：88