Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（-1，f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0，求函数y=f（x）解析式．

Answer

因为函数的图象经过P点，所以把P点的坐标代入函数关系式中即可求出d的值，把d的值代入f（x）确定出函数的关系式，求出f（x）的导函数，把（-1，f（-1））代入导函数得到f（-1）的值，又因为切线方程的斜率为6，所以得到x=-1时导函数的值为6，分别列出关于b与c的两个方程，联立即可求出b与c的值，把a，b和c的值代入即可确定出f（x）的解析式．
【解析】
由f（x）的图象经过P（0，2），知d=2，
所以f（x）=x3+bx2+cx+2，则f'（x）=3x2+2bx+c．
由在M（-1，f（-1））处的切线方程是6x-y+7=0，知-6-f（-1）+7=0，
即f（-1）=1，f'（-1）=6
∴，即，
解得b=c=-3，
故所求的解析式是f（x）=x3-3x2-3x+2．