Question

已知关于x的方程在（-3π，0）∪（0，3π）内有且仅有4个根，从小到大依次为x₁，x₂，x₃，x₄．
（1）求证：x₄=tanx_4．
（2）是否存在常数k，使得x₂，x₃，x₄成等差数列？若存在求出k的值，否则说明理由．

Answer

将方程根的问题转化为图象的交点问题，先画图（如下），再观察交点个数即得．
【解析】
（1）由原方程得sinx=kx（x≠0），
设函数f（x）=sinx，g（x）=kx（x≠0），它们的图象如图所示：
方程得sinx=kx（x≠0）在（-3π，0）∪（0，3π）内有
且仅有4个根，x4必是函数g（x）=kx与f（x）=sinx，
在内相切时切点的横坐标，
即切点为（x4，sinx4），g（x）=kx是f（x）=sinx的切线．
由f'（x）=cosx，∴k=cosx4，又∵sinx4=kx4，于是x4=tanx4．

（2）由题设知x2=-x3，又x2，x3，x4成等差数列，得2x3=x2+x4，∴．
由sinx3=kx3，得，即．
由题设，得，
∴，有，即，与sinx4＜1矛盾
故不存在常数k使得x2，x3，x4成等差数列．