Question

已知f（x）=log_a（a＞0，a≠1）．
（1）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；
（2）当x∈（r，a-2）时，f（x）的值域为（1，+∞），求a与r的值；
（3）若f（x）≥log_a2x，求x的取值范围．

Answer

（1）利用函数单调性的定义，通过对a分类讨论判断出f（x）的单调性．
（2）求出函数的定义域，对a分类讨论求函数的值域；利用原函数与其反函数的关系列出方程，求出a与r．
（3）对a分类讨论，利用函数的单调性脱去对数符号，解不等式组求出解集．
【解析】
（1）任取1＜x1＜x2，则
f（x2）-f（x1）=loga-loga
=loga
=loga．
又∵x2＞x1＞1，∴x1-x2＜x2-x1．
∴0＜x1x2-x2+x1-1＜x1x2-x1+x2-1．
∴0＜＜1．
当a＞1时，f（x2）-f（x1）＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；
当0＜a＜1时，f（x2）-f（x1）＞0，
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（2）由＞0得x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．
∵=1+≠1，∴f（x）≠0．
当a＞1时，
∵x＞1⇒f（x）＞0，x＜-1⇒f（x）＜0，
∴要使f（x）的值域是（1，+∞），只有x＞1．
又∵f（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴f-1（x）在（1，+∞）上也是减函数．
∴f（x）＞1⇔1＜x＜f-1（1）=．
∴∴
当0＜a＜1时，
∵x＞1⇒f（x）＜0，x＜-1⇔f（x）＞0，
∴要使值域是（1，+∞），只有x＜-1．
又∵f（x）在（-∞，-1）上是增函数，
∴f（x）＞1⇒-1＞x＞f-1（1）=．
∴无解．
综上，得a=2+，r=1．
（3）由f（x）≥loga2x得
当a＞1时，⇒＜x＜且x＞1．
∴1＜x＜．
当0＜a＜1时，
∴x＞．