Question

已知函数f（x）=-+（x＞0）．
（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0；
（3）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）求导，判断导数在（0，+∞）上的符号，判断出单调性，本题是先判断后证明，格式应为“f（x）在（0，+∞）上为减函数，证明如下：…
（2）由f（x）＞0得-+＞0，整理得＜0．求解时要对参数a的范围进行分类讨论，分类解不等式；
（3）对恒等式进行变形，得到≤+2x．求出+2x的最小值，令小于等于它即可解出参数a的取值范围．
【解析】
（1）f（x）在（0，+∞）上为减函数，证明如下：
∵f'（x）=-＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
（2）由f（x）＞0得-+＞0，
即＜0．
①当a＞0时，不等式解集为{x|0＜x＜2a}．
②当a＜0时，原不等式为＞0．
解集为{x|x＞0}．
（3）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，
即-++2x≥0．∴≤+2x．
∵+2x≥4，∴≤4．
解得a＜0或a≥．