Question

设f（x）=ax²+bx+c，若f（1）=，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式x²+≤f（x）≤2x²+2x+对一切实数x都成立，证明你的结论．

Answer

先由已知条件求出f（x）的解析式，然后证明x2+≤f（x）≤2x2+2x+对一切实数x都成立即可．
【解析】
由f（1）=，得a+b+c=．令x2+=2x2+2x+⇒x=-1．
由f（x）≤2x2+2x+推得f（-1）≤，
由f（x）≥x2+推得f（-1）≥，
∴f（-1）=．
∴a-b+c=．故a+c=且b=1．
∴f（x）=ax2+x+-a．
依题意ax2+x+-a≥x2+对一切x∈R都成立，
∴a≠1且△=1-4（a-1）（2-a）≤0．
由a-1＞0得a=．
∴f（x）=x2+x+1．
证明如下：x2+x+1-2x2-2x-=-x2-x-=-（x+1）2≤0．
∴x2+x+1≤2x2+2x+对x∈R都成立．
∴存在实数a=，b=1，c=1，
使得不等式x2+≤f（x）≤2x2+2x+对一切x∈R都成立．