Question

已知二次函数y=ax²+2bx+c，其中a＞b＞c且a+b+c=0．
（1）求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点．
（2）设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证：＜l＜2．

Answer

（1）欲证明二次函数与x轴有两个交点，只须函数相应方程的判别式大于0即可，本题中函数解析式未知，故应合理利用条件
a＞b＞c且a+b+c=0，对其变形后代入判别式进行变换即可判断判别式的符号，证明本题．
（2）利用求根公式求出函数相应方程的两个根，得到线段长l的表达式，变形得l=|x1-x2|=，由次形式推断出线段长度范围的关键是确定的范围，由此问题研究的方向找到，以下依据a＞b＞c且a+b+c=0恒等变形求的范围即可．
证明：（1）由a+b+c=0得b=-（a+c）．
△=（2b）2-4ac=4（a+c）2-4ac
=4（a2+ac+c2）=4[（a+）2+c2]＞0．
故此函数图象与x轴交于相异的两点．
（2）∵a+b+c=0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0．
由a＞b得a＞-（a+c），
∴＞-2．
由b＞c得-（a+c）＞c，
∴＜-．
∴-2＜＜-．
l=|x1-x2|=．
由二次函数的性质知l∈（，2）．