Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，N分别为A₁B₁，BC之中点．
（1）试求，使．
（2）在（1）条件下，求二面角N-AC₁-M的大小．

Answer

（1）以C1点为坐标原点，C1A1所在直线为x轴，C1C所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设A1B1=b，AA1=a，分别求出与的坐标，根据求出a与b的关系，从而求出，
（2）在（1）条件下，不妨设b=2，则，取AC1中点为P，根据二面角的平面角的定义可知∠NPM为二面角N-AC1-M的平面角，分别求出与的坐标，计算它们的数量积即可求出此角．
【解析】
（1）以C1点为坐标原点，C1A1所在直线为x轴，C1C所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设A1B1=b，AA1=a（a，b∈（0，+∞）．
∵三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，则A1，B，B1，C的坐标分别为：
（b，0，0），，，a），，，0），（0，0，a）．．
∴=，，a），=，，．

（2）在（1）条件下，不妨设b=2，则，
又A，M，N坐标分别为（b，0，a），（，，0），（，，a）．
∴，．∴
同理|AM|=|C1M|．
∴△AC1N与△AC1M均为以AC1为底边的等腰三角形，
取AC1中点为P，则NP⊥AC1，MP⊥AC1⇒∠NPM为二面角N-AC1-M的平面角，
而点P坐标为（1，0，），
∴=，，．同理=，，．
∴=．
∴∠NPM=90°⇒二面角N-AC1-M的大小等于90°．