Question

一条直线经过P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程．
（1）倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍；
（2）夹在两坐标间的线段被P分成1：2；
（3）与x轴，y轴正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小．

Answer

（1）先求得直线x-4y+3=0的倾斜角，再用二倍角的正切求得所求直线的斜率；
（2）先设出直线方程，再求出与坐标轴的交点坐标，用两点间距离公式表示出两线段求得；
（3）设出直线方程，分别求得在x轴，y轴正半轴的截距，建立三角形面积模型，再求最值所在状态．
【解析】
（1）直线x-4y+3=0的倾斜角是α=arctan，∴所求直线的倾斜角β=2arctan，∴其斜率k=tan（2arctan）=
∴所求直线方程是：y-2=（x-3）即：8x-15y+6=0
（2）设直线方程为y-2=k（x-3）
令x=0得，y=2-3k；与y轴交点坐标A（0，2-3k）
令y=0得，x=3-与x轴交点坐标B（3-，0）
∵|PA|=2|PB|
∴
解得：k=
∴直线方程是23x-18y-33=0或25x+18y-111=0
（3）设直线方程为

得ab≥24
S△min==12

解得a=6，b=4
所以所求直线方程为