Question

已知f（x）=log_a（a＞0，a≠1）是奇函数．
（1）求m的值；
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer

（1）利用奇函数的定义列出方程恒成立，化简方程求出m的值，将m的值代入对数函数的真数，验真数是否大于0．
（2）利用导数的运算法则求出f′（x），通过讨论a，判断出导数的正负，判断出函数的单调性．
【解析】
（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）+f（x）==对定义域内的任意x恒成立，
∴=1，
∴（m2-1）x2=0，m=±1．
当m=1时，=-1，函数无意义，
∴m=-1．
（2）由（1）知，f（x）=loga，∴定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
求导得f′（x）=
①当a＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，-1）与（1，+∞）内都是减函数；
②当0＜a＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，-1）与（1，+∞）上都是增函数．