Question

平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是矩形，侧棱长为2cm，点C₁在底面ABCD上的射影H是CD的中点，CC₁与底面ABCD成60°的角，二面角A-CC₁-D的平面角等于30°，求此平行六面体的表面积．

Answer

平行六面体的表面积是各个面的面积和，相对的两个面相同；故由侧棱长为2cm，点C1在底面ABCD上的射影H是CD的中点，CC1与底面ABCD成60°的角，可求出侧面CDD1C1的面积；由二面角A-CC1-D的平面角等于30°，可以求出底面边长AD，从而求出底面矩形ABCD的面积和侧面矩形ADD1A1的面积；即得此平行六面体的表面积．
【解析】
如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，∴CD⊥BC，
又点C1在底面ABCD上的射影H是CD的中点，
∴C1H⊥平面ABCD，∴C1H⊥BC，∴BC⊥平面CDD1C1，∴BC⊥CC1，
∴∠C1CH是CC1与底面ABCD成的角，即∠C1CH=60°；
又CC1=2，∴，CH=1，∴CD=2CH=2，
∴▱CDD1C1的面积为：S1=CD•C1H=2×=2；
又由BC∥AD，且BC⊥平面CDD1C1，
∴AD⊥平面CDD1C1；过点D作DE⊥CC1，垂足为E，连接AE，则AE⊥CC1；
∴∠AED是二面角A-CC1-D的平面角，∴∠AED=30°．
在Rt△AED中，DE=，∠ADE=90°，∴AD=1，
∴矩形ABCD的面积为：S2=AD•CD=1×2=2，矩形ADD1A1的面积为：S3=AD•DD1=1×2=2，
所以，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的表面积为：S=2S1+2S2+2S3==．