Question

已知函数f（x）=e^-x（cosx+sinx），将满足f'（x）=0的所有正数x从小到大排成数列{x_n}．
（Ⅰ）证明数列{f{x_n}}为等比数列；
（Ⅱ）记S_n是数列{x_nf{x_n}}的前n项和，求．

Answer

（1）先求导数，解出f'（x）=0的所有正数解x，求得数列{xn}．从而可证明数列{f{xn}}为等比数列．
（2）利用错位相减法求得Sn，从而求得，进而得解．
【解析】
（Ⅰ）证明：f'（x）=-e-x（cosx+sinx）+e-x（-sinx+cosx）=-2e-xsinx．
由f'（x）=0，得-2e-xsinx=0．
解出x=nπ，n为整数，从而xn=nπ，n=1，2，3，f（xn）=（-1）ne-nπ.．
所以数列{f{xn}}是公比q=-e-π的等比数列，且首项f（x1）=q．
（Ⅱ）【解析】
Sn=x1f（x1）+x2f（x2）++xnf（xn）=πq（1+2q++nqn-1），
qSn=πq（q+2q2++nqn），
Sn-qSn=πq（1+2q2++qn-1-nqn）
=，
从而
=
=
=．
因为，
所以．