Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）证明PA⊥BD．

Answer

（Ⅰ）取AD的中点E，连接PE，则PE⊥AD．作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连接OE．求出高PO和底面ABCD的面积，可求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）法一：建立空间直角坐标系，求出，计算，就证明了PA⊥BD．
法二：连接AO，延长AO交BD于点F，通过相似和计算，证明直线BD垂直直线PA在平面ABCD内的身影AF，即可证明PA⊥BD．
【解析】
（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连接PE，则PE⊥AD．
作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连接OE．
根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，
所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，
由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，
所以PO=3，四棱锥P-ABCD的体积
VP-ABCD=．

（Ⅱ）法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系．通过计算可得
P（0，0，3），A（2，-3，0），B（2，5，0），D（-2，-3，0）
所以．
因为，所以PA⊥BD．
法二：如图2，连接AO，延长AO交BD于点F．通过计算可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8，得．
所以Rt△AEO∽Rt△BAD．
得∠EAO=∠ABD．
所以∠EAO+∠ADF=90°
所以AF⊥BD．
因为直线AF为直线PA在平面ABCD内的身影，所以PA⊥BD．