Question

求f（x）=（x-1）[2x²-（3a+4）x+9a-4]在区间[0，3]上的最大值与最小值，其中0＜a＜2．

Answer

要求f（x）=（x-1）[2x2-（3a+4）x+9a-4]在区间[0，3]上的最大值与最小值，则要求f（x）的导函数，
【解析】
∵f（x）=（x-1）[2x2-（3a+4）x+9a-4]
∴f′（x）=6（x-2）（x-a）
∴f′（x）=0的零点是x=a，和x=2
又∵f（2）=3a-4，f（a）=-a3+6a2-9a+4
f（0）=4-9a，f（3）=4，
∵0＜a＜2
∴f（a）-f（2）=（a3+6a2-9a+4）-（3a-4）
=（2-a）3＞0
f（3）-f（0）=4-（4-9a）=9a＞0
∴最大值只可能是f（a）与f（3）
再比较f（3）-f（a）=a•（3-a）2＞0
最大值是f（3）=4
最小值只能是f（2）与f（0），而f（2）-f（0）=4（3a-2）
故当0＜a＜时，f（2）＜f（0），
于是f（x）在[0，3]的最小值是f（2）=3a-4
当a＜2时，f（2）≥f（0），此时最小值是f（0）=4-9a
从而f（x）在[0，3]上
故答案为：最大值为：4
          当时，最小值为：3a-4
          当时，最小值为：-9a+4