Question

（1）设M（x，y）为抛物线y²=2x上的一个定点，过M作抛物线的两条互相垂直的弦MPMQ，求证：PQ恒过定点M′（x+2，2-y）
（2）直线x+my+1=0与抛物线y²=2x交于点P，Q，在抛物线上是否存在点M，使得△MPQ为以PQ为斜边的直角三角形？

Answer

（1）设PQ的方程为y=mx+n，代入y2=2x．得y2-2my-2n=0，然后由根与系数的关系可以得到直线PQ的方程为x=my+my+x+2，它一定过焦点M′（x+2，-y）．
（2）设M（x，y）为满足条件的点，则由（1）知，M′（x+2，-y）在直线x+my+1=0上，所以x+2-my+1=0，
由题设知y2-2my+6=0，△=4m2-24≥0，所以存在点M满足条件．
（1）证明：设PQ的方程为y=mx+n，代入y2=2x
得y2-2my=-2n=0
∴y1+y2=2m，y1y2-2n其中y1，y2分别是P，Q的纵坐标
∵MP⊥Mu∴kmax•kmin=-1（3分）
即
∴（y1+y）（y2+y）=-4
•y1y2+（y1+y2）y+y2-4=0
（-2n）+2my+2x+4=0，
=my+x+2
直线PQ的方程为x=my+my+x+2，
即x=m（y+y）+x+2，它一定过焦点M′（x+2，-y）（6分）
（2）设M（x，y）为满足条件的点，
则由（1）知，M′（x+2，-y）在直线x+my+1=0上，所以x+2-my+1=0，
（x，y）是方程组的解，
消去x得y2-2my+6=0，△=4m2-24≥0
∴存在点M满足条件．（12分）