Question

如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于B₁、C₁．将△AB₁C₁沿B₁C₁折起到△A₁B₁C₁的位置，使点A₁在平面BB₁C₁C上的射影恰是线段BC的中点M．求：
（1）二面角A₁-B₁C₁-M的大小；
（2）异面直线A₁B₁与CC₁所成角的大小．（用反三角函数表示）

Answer

（1）连接AM、A1G，根据二面角平面角的定义可知∠A1GM是二面角A1-B1C1-M的平面角，在Rt△A1GM中求出此角即可；
（2）B1作C1C的平行线交BC于点P，则∠A1B1P等于异面直线A1B1与CC1所成的角，在△A1B1P中利用余弦定理可求得∠A1B1P的大小．
【解析】
（1）连接AM、A1G．
∵G是正三角形ABC的中心，且M为BC的中点，
∴A、G、M三点共线，AM⊥BC．
∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥AM于点G，
即GM⊥B1C1，GA1⊥B1C1．
∴∠A1GM是二面角A1-B1C1-M的平面角．
∵点A1在平面BB1C1C上的射影为M，
∴A1M⊥MG，∠A1MG=90°．
在Rt△A1GM中，由A1G=AG=2GM，得∠A1GM=60°，
即二面角A1-B1C1-M的大小是60°．
（2）过B1作C1C的平行线交BC于点P，
则∠A1B1P等于异面直线A1B1与CC1所成的角．
由PB1C1C是平行四边形得B1P=C1C=1=BP，
PM=BM-BP=，A1B1=AB1=2．
∵A1M⊥面BB1C1C于点M，
∴A1M⊥BC，∠A1MP=90°．
在Rt△A1GM中，A1M=A1G•sin60°=•=．
在Rt△A1MP中，A1P2=A1M2+PM2=（）2+（）2=．
在△A1B1P中，由余弦定理得
cos∠A1B1P===，
∴异面直线A1B1与CC1所成角的大小为arccos．