Question

设函数f（x）=x（x-1）（x-a），（a＞1）
（1）求导数f′（x）并证明f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂；
（2）若不等式f（x₁）+f（x₂）≤0成立，求a的取值范围．

Answer

（1）利用求导法则求出f（x）的导函数，令f'（x）=0考虑到判别式大于零得到两个极值点，设x1＜x2，讨论函数的增减性得到x1是极大值点，x2是极小值点；
（2）把x1，x2代入到f（x）中求出函数值代入不等式f（x1）+f（x2）≤0中，在利用根与系数的关系化简得到关于a的不等式，求出解集即可．
【解析】
（1）f'（x）=3x2-2（1+a）x+a．
令f'（x）=0得方程
3x2-2（1+a）x+a=0．
因△=4（a2-a+1）≥4a＞0，故方程有两个不同实根x1，x2
不妨设x1＜x2，由f'（x）=3（x-x1）（x-x2）可判断f'（x）的符号如下：
当x＜x1时，f'（x）＞0；
当x1＜x＜x2时，f'（x）＜0；
当x＞x2时，f'（x）＞0
因此x1是极大值点，x2是极小值点．
（2）因f（x1）+f（x2）≤0，故得不等式x13+x23-（1+a）（x12+x22）+a（x1+x2）≤0．
即（x1+x2）[（x1+x2）2-3x1x2]-（1+a）[（x1+x2）2-2x1x2]+a（x1+x2）≤0．
又由（I）知
代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得
2a2-5a+2≥0．
解不等式得a≥2或a≤（舍去）
因此，当a≥2时，不等式f（x1）+f（x2）≤0成立．